** Récurrence pour calculer des sommes

1. Démontrer par récurrence les égalités suivantes.
    a. Pour tout entier naturel `n` , \(1+2+\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) .
    b. Pour tout entier naturel `n` , \(1^2+2^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) .
    c. Soit `q`  un réel différent de `1` . Pour tout entier naturel `n` , \(1+q+q^2+\cdots+q^n=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) .
    d. Pour tout entier naturel `n`  non nul, \(\displaystyle\frac{1}{1 \times 2}+\displaystyle\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n \times (n+1)}=\displaystyle\frac{n}{n+1}\) .
    e. Pour tout entier naturel `n`  non nul, \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\) .

2. Réécrire chacune de ces égalités en utilisant le symbole \(\displaystyle\sum\)  pour le membre de gauche.